Nos Problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
y^prime prime+4 y^prime+5 y=35 e^-4 x, y(0)=-3, y^prime(0)=13

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçado
y'' + 4y' + 5y = 35e^-4x,
sujeita a y(0)=–3 e y’(0)=13. O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem, precisamos achar a solução homogênea (y_h), uma particular (y_p) pelo método dos coeficientes a determinar e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea montamos a equação característica
r^2 + 4r + 5 = 0
Resolvendo, temos
r = -2 pm i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = e^-2x,l(A,cos x + B,sin xr)

Passo 3

Como o termo forçado é 35e^{-4x} e –4 não é raiz da característica, tentamos uma particular da forma
yp(x) = C e^-4x
Então y_p’ = -4C e^{-4x} e y_p’’ = 16C e^{-4x}. Substituindo na equação original, a parte LHS vira
$$
(16C - 16C + 5C)e^{-4x} = 35e^{-4x}
$$
que exige 5C = 35, logo C = 7. Portanto
y_p(x) = 7e^{-4x}.

Passo 4

A solução geral é a soma:
y(x) = yh(x) + yp(x) = e^-2xl(Acos x + Bsin xr) + 7e^-4x

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y’(x). Derivando por produto e soma:
y'(x) = e^-2xl((-2A + B)cos x + (-2B - A)sin xr) - 28e^-4x

Passo 6

Em x=0 temos y(0)=A + 7 = -3. Daí A = -10.
Em x=0 temos y’(0)=(-2A + B) - 28 = 13, logo -2A + B = 41. Substituindo A = -10, vem 20 + B = 41 e B = 21.

Resposta

y(x) = e^-2xl(-10cos x + 21sin xr) + 7e^-4x

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