Nos Problemas 29-40, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçado
sujeita a y(0)=–3 e y’(0)=13. O conteúdo é EDOs lineares de 2ª ordem, precisamos achar a solução homogênea (y_h), uma particular (y_p) pelo método dos coeficientes a determinar e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea montamos a equação característica
Resolvendo, temos
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo forçado é 35e^{-4x} e –4 não é raiz da característica, tentamos uma particular da forma
Então y_p’ = -4C e^{-4x} e y_p’’ = 16C e^{-4x}. Substituindo na equação original, a parte LHS vira
$$
(16C - 16C + 5C)e^{-4x} = 35e^{-4x}
$$
que exige 5C = 35, logo C = 7. Portanto
y_p(x) = 7e^{-4x}.
que exige 5C = 35, logo C = 7. Portanto
y_p(x) = 7e^{-4x}.
Passo 4
A solução geral é a soma:
Passo 5
Para aplicar as condições iniciais, precisamos de y’(x). Derivando por produto e soma:
Passo 6
Em x=0 temos y(0)=A + 7 = -3. Daí A = -10.
Em x=0 temos y’(0)=(-2A + B) - 28 = 13, logo -2A + B = 41. Substituindo A = -10, vem 20 + B = 41 e B = 21.
Em x=0 temos y’(0)=(-2A + B) - 28 = 13, logo -2A + B = 41. Substituindo A = -10, vem 20 + B = 41 e B = 21.