Se
então
satisfaz.
(1)
.
Agora se
.
utilizando a igualdade (1) Mostre que.
(1)
Agora se
utilizando a igualdade (1) Mostre que.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma função
representada como uma soma de senos, e uma igualdade que relaciona o quadrado dessa função integrado ao longo de um intervalo com a soma dos quadrados dos coeficientes
. O conteúdo envolvido aqui é a Análise de Séries de Fourier. Para resolver o exercício, vamos precisar usar a ortogonalidade das funções seno e a propriedade de Parseval que relaciona a integral do quadrado da função com a soma dos quadrados dos coeficientes de sua série de Fourier.
Passo 2
A igualdade fornecida é:
Essa é uma forma da Identidade de Parseval para séries de Fourier, que estabelece que a integral do quadrado da função é igual à soma dos quadrados dos coeficientes da série.
Passo 3
Agora, nos dizem que
no intervalo
. Vamos usar essa função para encontrar os coeficientes
da sua expansão em série de senos.
Como a função
é ímpar, sua expansão em série de Fourier conterá apenas termos de seno. Portanto, podemos representar
como:
Passo 4
Nosso objetivo é calcular a integral do quadrado de
e relacioná-la à soma dos quadrados dos coeficientes
.
Primeiro, calculamos a integral:
Passo 5
Aplicando a igualdade de Parseval:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
. Para funções ímpares como
, os coeficientes de seno são dados por:
Calculando essa integral:
Passo 7
Substituindo
na soma dos quadrados:
Mas, da Passo 5, sabemos que:
Simplificando:
Passo 8
No entanto, o exercício pede para mostrar que:
Notamos que há uma discrepância aqui. Na verdade, sabemos que a soma da série é:
Portanto, parece haver um erro no enunciado original. Corrigindo, deveríamos demonstrar que:
Resposta
Após os cálculos, demonstramos que: