Determine a equação do plano pi que passa pela reta de interseção dos planos 3 x+y-2 z=-2 e x-3y- z=-3 e é perpendicular ao plano pix y

Passo 1

O enunciado pede o plano pi que contém a reta de interseção dos planos
3x + y - 2z = -2
e
x - 3y - z = -3
e que seja perpendicular ao plano pixy (o plano z=0).
Conteúdo: uso da família de planos que passam pela reta de interseção e condição de perpendicularidade entre planos (normais ortogonais).

Passo 2

A família de planos que contém a reta de interseção é dada por
(3x + y - 2z + 2) ;+;lambda,(x - 3y - z + 3);=;0
Desenvolvendo,
(3+lambda)x + (1-3lambda)y +(-2-lambda)z + (2+3lambda)=0

Passo 3

Para que pi seja perpendicular a pixy, seus vetores normais devem ser ortogonais. O normal de pixy é (0,0,1), logo o coeficiente de z em pi deve ser zero:
-2 - lambda = 0

Passo 4

Da condição -2-lambda=0 vem lambda=-2. Substituindo em
(3+lambda)x + (1-3lambda)y + (2+3lambda)=0
obtemos
(3-2)x + l(1-3(-2)r)y + l(2+3(-2)r)=0
ou seja
x + 7y -4 = 0

Resposta

x + 7y - 4 = 0

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