Resolva o sistema homogêneo:
l x+2 y-z=0 3 x-y+4 z=0 2 x+y+z=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
x + 2y - z = 0, 3x - y + 4z = 0, 2x + y + z = 0
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss, identi­ficação de variáveis livres e parametrização da solução.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 0 3 & -1 & 4 & 0 2 & 1 & 1 & 0 ]

Passo 3

Aplicamos as operações
R2 R2 - 3R1 e R3 R3 - 2R1. Isso leva a
[ccc|c 1 & 2 & -1 & 0 0 & -7 & 7 & 0 0 & -3 & 3 & 0 ]
Da segunda linha obtém-se
-7y + 7z = 0 Longrightarrow y = z
A terceira linha é proporcional à segunda, não traz nova informação.

Passo 4

Substituindo y = z na primeira equação x + 2y - z = 0
x + 2z - z = 0 Longrightarrow x = -z
Como z é variável livre, seja z = t. Então
x = -t, y = t, z = t
Logo o vetor solução é l(x,y,zr) = t(-1,1,1).

Resposta

(x,y,z) = t,(-1,1,1), tin R

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