As equações de uma reta r são c4 x+2 y-3 z+8=0 2 x-y+z-11=0. Mostre que esta reta r está contida no plano 2 x+ 7 y-9 z+49=0

Passo 1

O enunciado dá a reta r como interseção de dois planos
4x+2y-3z+8=0
2x-y+z-11=0
e pede para mostrar que essa reta está contida no plano
2x+7y-9z+49=0
O que vamos usar é a ideia de expressão do plano alvo como combinação linear das duas primeiras equações.

Passo 2

Suponha que existam constantes A e B tais que
A,(4x+2y-3z+8);+;B,(2x-y+z-11);=;2x+7y-9z+49
Se acharmos A e B, qualquer ponto que satisfaça as duas primeiras equações satisfará também esta combinação, ou seja, o plano dado.

Passo 3

Igualando coeficientes de x, y, z e do termo constante, formamos o sistema
4A + 2B = 2, 2A - B = 7, -3A + B = -9, 8A -11B = 49

Passo 4

Da segunda equação vem
B = 2A - 7
Substituindo na terceira:
-3A + (2A - 7) = -9 Longrightarrow -A -7 = -9 Longrightarrow A = 2,
e então
B = 2cdot2 - 7 = -3
Verifica-se que essas mesmas A e B satisfazem também as outras duas equações.

Passo 5

Com A=2 e B=-3 obtemos
2,(4x+2y-3z+8);-;3,(2x-y+z-11) ;=;2x+7y-9z+49
Logo, todo ponto que está em ambos os primeiros planos satisfaz a equação do plano alvo. Isso prova que a reta r está contida nesse plano.

Resposta

A reta r está contida no plano
2x+7y-9z+49=0

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