Determine se há soluções não triviais:
l x+y+z=0 2 x+2 y+2 z=0 3 x+3 y+3 z=0

Passo 1

Temos o sistema homogêneo em :
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos estudar o posto da matriz de coeficientes para ver se existem soluções não triviais.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A= 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 3 & 3 & 3
Observação: a segunda linha é 2 vezes a primeira e a terceira linha é 3 vezes a primeira. Logo, só há uma equação independente.

Passo 3

O posto de A é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Como todas as linhas são múltiplos da primeira,
rank(A)=1
Para um sistema homogêneo com n=3 incógnitas, o espaço de soluções tem dimensão
n - rank(A)=3-1=2
Como essa dimensão é maior que zero, existem infinitas soluções não triviais.

Passo 4

Para parametrizar, basta usar a única equação independente x+y+z=0. Isolando z, temos
z = -,x - y
Logo a solução geral é
(x,y,z) = (x,y,-x - y) = x,(1,0,-1) + y,(0,1,-1),
onde x e y podem ser quaisquer números reais.

Resposta

Existem soluções não triviais. A família de soluções é
, (x,y,-x-y) mid x,yinR

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