Determine a equação do plano que é perpendicular à reta r(t)=(1,0,2)+t(3,-1,4) e passa pelo ponto P(2,-3,5).
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Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que é perpendicular à reta
r(t) = (1,0,2) + t,(3,-1,4)
e que passa pelo ponto P(2,-3,5).
Aqui o conteúdo é o uso da forma ponto–normal de um plano em R^3, onde o vetor normal é dado pela direção da reta.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta como
v = (3,-1,4)
Como o plano deve ser perpendicular à reta, esse vetor será normal ao plano. Logo, n=(3,-1,4).

Passo 3

Usamos a forma ponto–normal do plano: se n=(a,b,c) e P(x0,y0,z0) está no plano, então
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Substituindo a=3, b=-1, c=4 e P(2,-3,5), fica
3(x-2) ;-;1,(y+3) ;+;4(z-5) ;=;0

Passo 4

Expandindo e simplificando:
3x - 6 - y - 3 + 4z - 20 = 0
3x - y + 4z - 29 = 0

Resposta

A equação do plano é
3x - y + 4z - 29 = 0

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