Calcular um valor aproximado usando diferencial.
a) raiz48
b) raiz[4]81,5

Passo 1

O enunciado pede para aproximar duas raízes usando o conceito de diferencial (ou aproximação linear). A ideia geral é: se f é derivável em x=a e queremos aproximar f(a+De<a x), usamos
f(a+De<a x)approx f(a)+f'(a),De<a x
Vamos aplicar isso duas vezes, primeiro para raiz48 e depois para raiz[4]81,5.

Passo 2

Para aproximar raiz48, tome f(x)=raizx=x^1/2. Então
f'(x)=12,x^-1/2=12raizx
Escolhemos o ponto base a=49, pois raiz49=7 é exato, e De<a x=48-49=-1. Assim
f'(49)=12cdot7=114,
e
raiz48=f(49-1)approx f(49)+f'(49),(-1) =7-114=7-114approx7-0,07143=6,9286

Passo 3

Para aproximar raiz[4]81,5, defina g(x)=x^1/4. Então
g'(x)=14,x^-3/4
Escolhemos a=81, pois 81^1/4=3 exato, e De<a x=81,5-81=0,5. Logo
g'(81)=14cdot81^-3/4 =14cdotl(81^1/4r)^-3 =14cdot3^-3 =14cdot27=1108,
e
raiz[4]81,5=g(81+0,5)approx g(81)+g'(81),(0,5) =3+1108cdot0,5 =3+0,5108 =3+1216approx3+0,00463=3,00463

Resposta

a) raiz48approx6,93
b) raiz[4]81,5approx3,005

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