Determine a equação do plano que contém os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar a equação de um plano que passa por três pontos específicos: , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, que ajudam a descrever planos e outras figuras no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a equação de um plano no espaço geralmente tem a forma , onde , , e são os coeficientes que definem a inclinação do plano, e é uma constante. Nosso objetivo é encontrar esses valores , , e que fazem esse plano passar pelos três pontos dados.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, vamos precisar de dois vetores que estejam dentro do plano . Podemos obter esses vetores usando os pontos fornecidos. Vamos escolher o ponto como referência e criar dois vetores que vão desse ponto para os outros dois pontos.
Vetor : de para .
Vetor : de para .
Passo 4
Agora que temos os dois vetores que estão no plano, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Esse vetor perpendicular é chamado de vetor normal ao plano, e nos ajuda a definir a equação do plano. Para encontrar esse vetor normal, vamos calcular o produto vetorial dos vetores e .
Passo 5
Vamos calcular esse determinante passo a passo:
n = i cdot [(-1)(-2) - (0)(-3)] - j cdot [(-1)(-2) - (0)(-2)] + k cdot [(-1)(-3) - (-1)(-2)]
Simplificando cada parte:
n = i cdot (2 - 0) - j cdot (2 - 0) + k cdot (3 - 2)
n = 2i - 2j + 1k = (2, -2, 1)
Então, o vetor normal é n = (2, -2, 1).
Passo 6
Com o vetor normal n = (2, -2, 1) encontrado, podemos usar a equação geral do plano:
2(x - x0) - 2(y - y0) + 1(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um dos pontos que sabemos que está no plano. Vamos usar o ponto (1,2,1).
Passo 7
Substituindo os valores do ponto na equação do plano: