Determine a equação do plano pi que contém os pontos (1,2,1),(0,1,1) e (-1,-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar a equação de um plano pi que passa por três pontos específicos: (1,2,1), (0,1,1) e (-1,-1,-1). Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, que ajudam a descrever planos e outras figuras no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a equação de um plano no espaço geralmente tem a forma Ax + By + Cz + D = 0, onde A, B, e C são os coeficientes que definem a inclinação do plano, e D é uma constante. Nosso objetivo é encontrar esses valores A, B, C e D que fazem esse plano passar pelos três pontos dados.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, vamos precisar de dois vetores que estejam dentro do plano pi. Podemos obter esses vetores usando os pontos fornecidos. Vamos escolher o ponto (1,2,1) como referência e criar dois vetores que vão desse ponto para os outros dois pontos.
Vetor v1: de (1,2,1) para (0,1,1).
v1 = (0-1, , 1-2, , 1-1) = (-1, -1, 0)
Vetor v2: de (1,2,1) para (-1,-1,-1).
v2 = (-1-1, , -1-2, , -1-1) = (-2, -3, -2)

Passo 4

Agora que temos os dois vetores que estão no plano, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos. Esse vetor perpendicular é chamado de vetor normal ao plano, e nos ajuda a definir a equação do plano. Para encontrar esse vetor normal, vamos calcular o produto vetorial dos vetores v1 e v2.
n = v1 times v2 = i & j & k -1 & -1 & 0 -2 & -3 & -2

Passo 5

Vamos calcular esse determinante passo a passo:
n = i cdot [(-1)(-2) - (0)(-3)] - j cdot [(-1)(-2) - (0)(-2)] + k cdot [(-1)(-3) - (-1)(-2)]
Simplificando cada parte:
n = i cdot (2 - 0) - j cdot (2 - 0) + k cdot (3 - 2)
n = 2i - 2j + 1k = (2, -2, 1)
Então, o vetor normal é n = (2, -2, 1).

Passo 6

Com o vetor normal n = (2, -2, 1) encontrado, podemos usar a equação geral do plano:
2(x - x0) - 2(y - y0) + 1(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um dos pontos que sabemos que está no plano. Vamos usar o ponto (1,2,1).

Passo 7

Substituindo os valores do ponto na equação do plano:
2(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0
Agora, vamos expandir e simplificar:
2x - 2 - 2y + 4 + z - 1 = 0
2x - 2y + z +1 = 0

Resposta

A equação do plano pi é:
2x - 2y + z + 1 = 0

Exercícios relacionados