Uma partícula desloca-se no espaço, de modo que sua posição é dada em função do tempo pela seguinte função gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0 (Suponha que o sistema de eixos está graduado segundo o sistema métrico e que o tempo seja dado em segundos). Determine:
a) a posição e a velocidade (vetorial) da partícula para t=0.

Passo 1

Enunciado: A partícula tem posição gamma(t) = (t cos t, t sin t, t), para t>=0. O objetivo é encontrar a posição e a velocidade vetorial em t=0. Para isso, vamos avaliar a própria função e sua derivada.

Passo 2

Para obter a posição em t=0, substituímos t=0 em gamma(t):
gamma(0) = (0 cos 0, 0 sin 0, 0) = (0,0,0)
Logo, a posição inicial é (0,0,0).

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade, que é o vetor derivada de gamma(t). Derivando cada componente, temos
gamma'(t) = (cos t - t sin t, sin t + t cos t, 1)
Em seguida, avaliamos em t=0:
gamma'(0) = (cos 0 - 0 cdot sin 0, sin 0 + 0 cdot cos 0, 1) = (1,0,1)
Isso nos dá a velocidade em t=0.

Resposta

Posição em t=0: (0,0,0); Velocidade em t=0: (1,0,1).

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