Uma partícula desloca-se no espaço, de modo que sua posição é dada em função do tempo pela seguinte função gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0 (Suponha que o sistema de eixos está graduado segundo o sistema métrico e que o tempo seja dado em segundos). Determine:
d) a distância percorrida pela partícula quando ela se deloca do ponto (0,0,0) ao ponto (raiz2 cos raiz2, raiz2 sen raiz2, raiz2) sobre a curva gamma.
Se necessário, utilize integral raizt^2+a^2 d t=12(t raizt^2+a^2+a^2 ln (|t+raizt^2+a^2||a|))+C

Passo 1

A questão dá a curva gamma(t)=(tcos t,,tsin t,,t) para t>=0 e pede a distância percorrida desde gamma(0)=(0,0,0) até gamma(raiz2)=(raiz2cosraiz2,,raiz2sinraiz2,,raiz2). O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar da fórmula de arco s=integrala^b|gamma'(t)|, dt.

Passo 2

Derivando a curva fica gamma'(t)=(cos t - tsin t,,sin t + tcos t,,1). A norma disso é
|gamma'(t)|=raiz(cos t - tsin t)^2+(sin t + tcos t)^2+1^2= raizt^2+2

Passo 3

Então o comprimento de arco é
s=integral0^raiz2raizt^2+2, dt

Passo 4

Para calcular essa integral, usamos a primitiva dada
integralraizt^2+a^2, dt=tfrac12l(traizt^2+a^2+a^2lnl|t+raizt^2+a^2r|/|a|r)+C
com a^2=2, isto é a=raiz2. A antiderivada então é
F(t)=tfrac12l(traizt^2+2+2lnt+raizt^2+2raiz2r)
Avaliando de 0 a raiz2: em t=raiz2 tem-se raizt^2+2=2, logo
F(raiz2)=tfrac12(2raiz2+2lntfrac2+raiz2raiz2)=raiz2+lntfrac2+raiz2raiz2,
e em t=0, F(0)=0. Portanto
s=raiz2+ln2+raiz2raiz2

Passo 5

Para simplificar, note que (2+raiz2)/raiz2=raiz2+1, então a expressão fica mais elegante.

Resposta

s=raiz2+ln(raiz2+1)

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