Uma partícula desloca-se no espaço, de modo que sua posição é dada em função do tempo pela seguinte função (Suponha que o sistema de eixos está graduado segundo o sistema métrico e que o tempo seja dado em segundos). Determine:
d) a distância percorrida pela partícula quando ela se deloca do ponto ao ponto sobre a curva .
Se necessário, utilize
Passo 1
A questão dá a curva gamma(t)=(tcos t,,tsin t,,t) para t>=0 e pede a distância percorrida desde gamma(0)=(0,0,0) até gamma(raiz2)=(raiz2cosraiz2,,raiz2sinraiz2,,raiz2). O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos precisar da fórmula de arco s=integrala^b|gamma'(t)|, dt.
Passo 2
Derivando a curva fica gamma'(t)=(cos t - tsin t,,sin t + tcos t,,1). A norma disso é
|gamma'(t)|=raiz(cos t - tsin t)^2+(sin t + tcos t)^2+1^2= raizt^2+2
Passo 3
Então o comprimento de arco é
s=integral0^raiz2raizt^2+2, dt
Passo 4
Para calcular essa integral, usamos a primitiva dada