Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
perpendicular à reta x=1-3 t, y=5+2 t, z=-t e que passa pelo ponto P(4,-1,2).

Passo 1

No enunciado temos a reta
x = 1 - 3t,\quad y = 5 + 2t,\quad z = -\,t
e queremos o plano perpendicular a ela que passa por P(4,-1,2). O conteúdo é geometria analítica de reta e plano, usando que o vetor diretor da reta será o vetor normal do plano.

Passo 2

O vetor diretor da reta é
\mathbf{d}=(-3,\,2,\,-1).
Como o plano é perpendicular à reta, esse vetor é normal ao plano. Logo,
\mathbf{n}=(-3,\,2,\,-1).

Passo 3

A equação do plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) e que passa por P(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Substituindo a=-3, b=2, c=-1 e P(4,-1,2):
-3(x-4)+2(y+1)-1(z-2)=0
\Rightarrow -3x+12+2y+2 -z+2=0
\Rightarrow -3x+2y-z+16=0.

Resposta

-3x + 2y - z + 16 = 0.

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