Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
W=\left\{\left(x, x+y, x^{2}\right) \mid x, y \in \mathbb{R}\right\} ;\quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,\,x+y,\,x^{2}) \mid x,y\in\mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^{3}
é um subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^{3}.
Para isso, usaremos o critério padrão de subespaço, isto é, devemos checar:
  1. W não é vazio e contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W.
Procuramos x,y tais que
(x,\;x+y,\;x^{2}) = (0,0,0).
Da primeira coordenada vem x=0.
Da segunda, 0 + y = 0 implica y=0.
Da terceira, x^{2}=0 já está satisfeita por x=0.
Logo, (0,0,0)\in W, ou seja, W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 3

Agora testamos a aplicação da adição. Tomemos
u = (x_{1},\,x_{1}+y_{1},\,x_{1}^{2}),\quad v = (x_{2},\,x_{2}+y_{2},\,x_{2}^{2})
em W. Então
u + v = \bigl(x_{1}+x_{2},\;(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2}),\;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr) = \bigl(X,\;X + Y,\;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\bigr),
onde X = x_{1}+x_{2} e Y = y_{1}+y_{2}.
Para que u+v estivesse em W, precisaríamos ter
X^{2} \;=\; x_{1}^{2} + x_{2}^{2}.
Porém
X^{2} = (x_{1}+x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + 2\,x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} \neq x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \quad\text{em geral (quando }x_{1}x_{2}\neq0\text{).}
Isso mostra que u+v nem sempre está em W. Portanto W não é fechado sob adição.

Passo 4

Não é necessário, mas para reforçar: sob multiplicação escalar, tome c\in\mathbb{R} e
u=(x,x+y,x^{2})\in W.
Então
c\,u = (c\,x,\;c\,(x+y),\;c\,x^{2}) = \bigl(X,\;X+Y,\;c\,x^{2}\bigr)
com X=cx e Y=cy. Para pertencer a W, precisaríamos X^{2}=c\,x^{2}, ou seja
(c\,x)^{2} = c\,x^{2} \;\Longrightarrow\; c^{2}x^{2} = c\,x^{2} \;\Longrightarrow\; (c^{2}-c)x^{2}=0
para todo x. Isso só ocorre para todo c se c=0 ou c=1. Logo, W falha em ser fechado para escalares arbitrários.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.)

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