Exercício 1: Verifique se W é um subespaço vetorial de V :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Para isso, usaremos o critério padrão de subespaço, isto é, devemos checar:
Para isso, usaremos o critério padrão de subespaço, isto é, devemos checar:
-
não é vazio e contém o vetor zero. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
.
Procuramos tais que
Procuramos
Da primeira coordenada vem
.
Da segunda, implica
.
Da terceira, já está satisfeita por
.
Logo, , ou seja,
não é vazio e contém o vetor zero.
Da segunda,
Da terceira,
Logo,
Passo 3
Agora testamos a aplicação da adição. Tomemos
em
. Então
onde
e
.
Para que estivesse em
, precisaríamos ter
Para que
Porém
Isso mostra que
nem sempre está em
. Portanto
não é fechado sob adição.
Passo 4
Não é necessário, mas para reforçar: sob multiplicação escalar, tome
e
Então
com
e
. Para pertencer a
, precisaríamos
, ou seja
para todo
. Isso só ocorre para todo
se
ou
. Logo,
falha em ser fechado para escalares arbitrários.