Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
determinado pelas retas x=1+2 t, y=4 t, z=-1+6 t e x=s, y=1+2 s, z=-2+3 s
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que contém as duas retas
L_1: x=1+2t,\quad y=4t,\quad z=-1+6t
e
L_2: x=s,\quad y=1+2s,\quad z=-2+3s.
O conteúdo envolvido é geometria analítica de planos: vamos extrair dos parâmetros das retas os vetores diretores, verificar que elas são paralelas, escolher um ponto em cada reta, usar o vetor que liga esses pontos e então calcular o produto vetorial para obter um vetor normal ao plano.
Passo 2
Das equações paramétricas lemos os vetores diretores
Para ver se as retas são paralelas, basta notar que \mathbf{v}_1 = 2\,\mathbf{v}_2. Logo, são retas paralelas.
Passo 3
Como as retas são paralelas e distintas, existe um único plano que as contém. Para encontrá-lo, escolhemos um ponto em cada reta. Tomamos em L_1 o ponto correspondente a t=0:
P=(1,0,-1),
e em L_2 o ponto para s=0:
Q=(0,1,-2).
O vetor que liga P a Q é
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1,1,-1).
Passo 4
Um vetor normal \mathbf{n} ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial de \mathbf{v}_1 com \overrightarrow{PQ}: