Determine uma equação do plano nos seguintes casos:
determinado pelas retas x=1+2 t, y=4 t, z=-1+6 t e x=s, y=1+2 s, z=-2+3 s

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as duas retas
L_1: x=1+2t,\quad y=4t,\quad z=-1+6t
e
L_2: x=s,\quad y=1+2s,\quad z=-2+3s.
O conteúdo envolvido é geometria analítica de planos: vamos extrair dos parâmetros das retas os vetores diretores, verificar que elas são paralelas, escolher um ponto em cada reta, usar o vetor que liga esses pontos e então calcular o produto vetorial para obter um vetor normal ao plano.

Passo 2

Das equações paramétricas lemos os vetores diretores
\mathbf{v}_1 = (2,4,6) \quad\text{e}\quad \mathbf{v}_2 = (1,2,3).
Para ver se as retas são paralelas, basta notar que \mathbf{v}_1 = 2\,\mathbf{v}_2. Logo, são retas paralelas.

Passo 3

Como as retas são paralelas e distintas, existe um único plano que as contém. Para encontrá-lo, escolhemos um ponto em cada reta. Tomamos em L_1 o ponto correspondente a t=0:
P=(1,0,-1),
e em L_2 o ponto para s=0:
Q=(0,1,-2).
O vetor que liga P a Q é
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1,1,-1).

Passo 4

Um vetor normal \mathbf{n} ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial de \mathbf{v}_1 com \overrightarrow{PQ}:
\mathbf{n} = \mathbf{v}_1 \times \overrightarrow{PQ} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 4 & 6\\\\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-10,-4,6).
Podemos dividir por 2 para simplificar:
\mathbf{n} = (-5,-2,3).

Passo 5

A equação de um plano com vetor normal \mathbf{n} = (A,B,C) que passa por P=(x_0,y_0,z_0) é
A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0.
Substituindo A=-5, B=-2, C=3 e P=(1,0,-1), vem
-5(x-1) - 2(y-0) + 3(z+1) = 0.
Expandindo e reorganizando, obtemos
-5x+5 -2y +3z+3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5x +2y -3z -8 = 0.

Resposta

A equação do plano é
5x + 2y - 3z - 8 = 0.

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