Exercício 50 (2,5 pontos). Determine a área da região limitada no plano
, a qual é delimitada pelas curvas
e
. Apresente o esboço dessa região
no plano
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas y³ = x² e y = 2 − x², além do esboço dessa região. O conteúdo é cálculo de área por integração dupla (ou simples em uma variável) e vamos usar a técnica de integração em coordenadas cartesianas, escolhendo y como variável de integração.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos de interseção das curvas. Substituindo x² = y³ em y = 2 − x², obtemos y = 2 − y³, ou seja y³ + y − 2 = 0. Essa equação tem raiz y = 1 (os outros são complexos). Para y = 1, x² = y³ = 1, daí os pontos (−1,1) e (1,1).
Passo 3
Em seguida, determinamos quais curvas formam as fronteiras horizontais. Para um dado y entre 0 e 2, as abscissas satisfazem simultaneamente |x| ≤ y^{3/2} (da curva y³ = x²) e |x| ≤ √(2 − y) (da curva y = 2 − x²). A fronteira ativa é a menor dessas expressões: de 0 a 1, y^{3/2} ≤ √(2 − y); de 1 a 2, passa a valer √(2 − y) ≤ y^{3/2}.
Passo 4
Agora calculamos a área fazendo a integral em y, dobrando pela simetria em x:
Para 0 ≤ y ≤ 1, x varia entre −y^{3/2} e +y^{3/2},
Para 1 ≤ y ≤ 2, x varia entre −√(2−y) e +√(2−y).
Logo,
Para 0 ≤ y ≤ 1, x varia entre −y^{3/2} e +y^{3/2},
Para 1 ≤ y ≤ 2, x varia entre −√(2−y) e +√(2−y).
Logo,
Passo 5
Calculando separadamente,
Passo 6
Somando,
Passo 7
Por fim, o esboço de R mostra a parábola y = 2 − x² descendo de (0,2) até (±1,1) e a curva y = (x²)^{1/3} subindo de (0,0) até (±1,1), com R sendo a região simétrica em torno do eixo y encaixada entre essas duas curvas.