Questão 4. (1,5 pontos) A função f(x)=x^7 é derivável no ponto x=1 ? Se sim, qual o valor de f^prime(1) ?

Passo 1

O enunciado pergunta se a função f(x)=x^{7} é derivável em x=1 e, caso afirmativo, qual o valor de f′(1). O conteúdo aqui é derivada pela definição de limite de diferença e a expansão binomial.

Passo 2

Para ver se f é derivável em x=1, aplicamos a definição de derivada:
f'(1)=limhto0f(1+h)-f(1)h
Como f(x)=x^{7}, temos f(1)=1.

Passo 3

Precisamos então calcular
(1+h)^7-1h
Pela fórmula do binômio de Newton,
(1+h)^7=sumk=0^7binom7kh^k=1+7h+21h^2+35h^3+35h^4+21h^5+7h^6+h^7

Passo 4

Substituindo na fração e simplificando o fator h:
(1+h)^7-1h=7h+21h^2+35h^3+35h^4+21h^5+7h^6+h^7h=7+21h+35h^2+35h^3+21h^4+7h^5+h^6
Fazendo h→0, só fica 7. Portanto o limite existe e vale 7.

Resposta

Sim, f é derivável em x=1 e f′(1)=7.

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