Questão 4. (1,5 pontos) A função
é derivável no ponto
? Se sim, qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado pergunta se a função f(x)=x^{7} é derivável em x=1 e, caso afirmativo, qual o valor de f′(1). O conteúdo aqui é derivada pela definição de limite de diferença e a expansão binomial.
Passo 2
Para ver se f é derivável em x=1, aplicamos a definição de derivada:
Como f(x)=x^{7}, temos f(1)=1.
Passo 3
Precisamos então calcular
Pela fórmula do binômio de Newton,
Passo 4
Substituindo na fração e simplificando o fator h:
Fazendo h→0, só fica 7. Portanto o limite existe e vale 7.
Resposta
Sim, f é derivável em x=1 e f′(1)=7.