Determine a equação do plano tangente à esfera S no ponto dado P in S.
P=(-13, 13, 13), S: x^2+y^2+z^2-2 x=1;

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à esfera S no ponto
P=l(-tfrac13,;tfrac13,;tfrac13r),
onde
S:;x^2+y^2+z^2-2x=1
Vamos usar que, para uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor nabla F(P) é normal ao plano tangente em P.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x-1,
de modo que F(x,y,z)=0 descreve exatamente S. O gradiente é
nabla F(x,y,z)=l(partialxF,;partialyF,;partialzFr) =l(2x-2,;2y,;2zr)

Passo 3

Avaliamo-lo em P:
nabla F(P) =l(2(-tfrac13)-2,;2cdottfrac13,;2cdottfrac13r) =l(-tfrac83,;tfrac23,;tfrac23r)
Para simplificar, multiplicamos por 3 e dividimos por 2, obtendo um vetor normal equivalente
(-4,;1,;1)

Passo 4

A forma ponto–normal do plano tangente em P é
(-4,,1,,1)cdotl((x,y,z)-Pr)=0,
ou seja
-4l(x+tfrac13r)+1l(y-tfrac13r)+1l(z-tfrac13r)=0
Expandindo e organizando, vem
-4x - tfrac43 + y - tfrac13 + z - tfrac13=0 ;Longrightarrow; -4x + y + z -2=0 ;Longrightarrow; 4x - y - z +2=0

Resposta

4x - y - z + 2 = 0

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