P 6.5. Seja P2(R) o espaço linear real dos polinómios de grau <= 2, e Bc=1, t, t^2 a sua base canónica.
a) Mostre que B1=1,1+t, 1+t+t^2 é uma nova base de P2(R).
b) Determine a matriz de mudança de base S da base ordenada Bc para a base ordenada B1.

Passo 1

O espaço P2(R) tem dimensão 3 e base canónica
Bc=1,;t,;t^2. Queremos mostrar que
B1=,1,;1+t,;1+t+t^2 também é base (isto é, é linearmente independente e gera) e depois encontrar a matriz de mudança de base
S de Bc para B1.

Passo 2

Para ver a independência linear, façamos
alphacdot1 + beta,(1+t) + gamma,(1+t+t^2) = 0
que é o polinômio zero. Igualando coeficientes:
constante: alpha + beta + gamma = 0
coeficiente de t: beta + gamma = 0
coeficiente de t^2: gamma = 0.
Da última vem gamma=0, então beta=0 e depois alpha=0. Logo só há combinação trivial, isto é, são linearmente independentes.

Passo 3

Como B1 tem três vetores em um espaço de dimensão três e são independentes, conclui-se que B1 gera todo P2(R). Portanto B1 é base.

Passo 4

Para obter a matriz de mudança de base S de Bc para B1, escrevemos cada vetor de B1 em coordenadas na base Bc:
1 = 1cdot1 + 0cdot t + 0cdot t^2 longrightarrow 100,
1+t = 1cdot1 + 1cdot t + 0cdot t^2 longrightarrow 110,
1+t+t^2 = 1cdot1 + 1cdot t + 1cdot t^2 longrightarrow 111
Esses vetores formam as colunas de S.

Passo 5

A matriz de mudança de base S (que satisfaz [;v;]B1 = S,[;v;]Bc) é
S = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Resposta

S = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados