P 6.5. Seja o espaço linear real dos polinómios de grau , e a sua base canónica.
a) Mostre que é uma nova base de .
b) Determine a matriz de mudança de base da base ordenada para a base ordenada .
Passo 1
O espaço tem dimensão e base canónica . Queremos mostrar que também é base (isto é, é linearmente independente e gera) e depois encontrar a matriz de mudança de base de para .
Passo 2
Para ver a independência linear, façamos
que é o polinômio zero. Igualando coeficientes:
constante:
coeficiente de :
coeficiente de : .
Da última vem , então e depois . Logo só há combinação trivial, isto é, são linearmente independentes.
Passo 3
Como tem três vetores em um espaço de dimensão três e são independentes, conclui-se que gera todo . Portanto é base.
Passo 4
Para obter a matriz de mudança de base de para , escrevemos cada vetor de em coordenadas na base :