Determine a equação do plano tangente à
no ponto dado
, ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e um ponto específico
. O objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
Vamos verificar se o ponto dado realmente pertence à superfície definida por
. Substituindo
e
na função:
Como
, o ponto
está na superfície.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o ponto dado, neste caso . -
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Passo 6
Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Distribuindo os termos:
Somando os termos constantes:
Resposta
A equação do plano tangente à função
no ponto
é: