Determine a equação do plano tangente à f no ponto dado
f(x, y)=y^2-xx+y, ponto (1,5,4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e um ponto específico . O objetivo é encontrar a equação do plano tangente a essa função nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

Vamos verificar se o ponto dado realmente pertence à superfície definida por f(1, 5) = 5^2 - 11 + 5 = 25 - 16 = 246 = 4 . Substituindo e na função:
Como , o ponto está na superfície.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente, usamos a fórmula:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Onde:
  • é o ponto dado, neste caso .
  • e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = y^2 - xx + y em relação a fx = ( -1 )(x + y) - (y^2 - x)(1)(x + y)^2 = -x - y - y^2 + x (x + y)^2 = -y - y^2 (x + y)^2 = -y(1 + y) (x + y)^2 , denotada por :
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial de fy = (2y)(x + y) - (y^2 - x)(1)(x + y)^2 = 2xy + 2y^2 - y^2 + x(x + y)^2 = 2xy + y^2 + x(x + y)^2 em relação a , denotada por :

Passo 6

Vamos avaliar as derivadas parciais no ponto fx(1, 5) = -5(1 + 5) (1 + 5)^2 = -5 times 6 36 = -30 36 = -56 :
Para fy(1, 5) = 2 times 1 times 5 + 5^2 + 1(1 + 5)^2 = 10 + 25 + 136 = 3636 = 1 :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos tudo na fórmula do plano tangente:
z = f(1, 5) + fx(1, 5)(x - 1) + fy(1, 5)(y - 5)
Substituindo os valores:
z = 4 + ( -56 )(x - 1) + 1(y - 5)

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
z = 4 - 56(x - 1) + y - 5
Distribuindo os termos:
z = 4 - 56x + 56 + y - 5
Somando os termos constantes:
z = -56x + y + (4 + 56 - 5) = -56x + y - 16

Resposta

A equação do plano tangente à função z = -56x + y - 16 no ponto é:

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