Se u=(3,-1,2), v=(2,4,-1) e w=(-1,0,1), determine:
(u times v)+(v times u)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores: u = (3, -1, 2), v = (2, 4, -1) e w = (-1, 0, 1). A gente precisa descobrir o resultado da expressão (u times v) + (v times u). Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial. Para resolver isso, vamos calcular cada produto vetorial separadamente e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial entre dois vetores a e b, denotado por a times b, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial em componentes é:
a times b = (ay bz - az by, az bx - ax bz, ax by - ay bx)

Passo 3

Vamos calcular u times v usando a fórmula acima:
u = (3, -1, 2) e v = (2, 4, -1)
Então,
  • Componente x:
    (-1) cdot (-1) - 2 cdot 4 = 1 - 8 = -7
  • Componente y:
    2 cdot 2 - 3 cdot (-1) = 4 + 3 = 7
  • Componente z:
    3 cdot 4 - (-1) cdot 2 = 12 + 2 = 14
Portanto,
u times v = (-7, 7, 14)

Passo 4

Agora, vamos calcular v times u. Mas antes de tudo, é importante lembrar uma propriedade dos produtos vetoriais: eles são anticomutativos. Isso significa que:
v times u = - (u times v)
Portanto,
v times u = - (-7, 7, 14) = (7, -7, -14)

Passo 5

Agora que temos u times v = (-7, 7, 14) e v times u = (7, -7, -14), vamos somar esses dois vetores:
(u times v) + (v times u) = (-7 + 7, 7 + (-7), 14 + (-14)) = (0, 0, 0)

Resposta

A soma (u times v) + (v times u) é igual ao vetor nulo:
(0, 0, 0)

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