Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
D=(x, y) in R^2| | x mid>1.

Passo 1

O conjunto dado é
D = (x,y)in R^2 mid |x|>1
O conteúdo da matéria é topologia de conjuntos em R^2, e vamos usar as definições de conjunto aberto e conjunto fechado.

Passo 2

A condição |x|>1 significa que estamos coletando todos os pontos com abscissa maior que 1 ou menor que -1. Em outras palavras, podemos separar em duas regiões:
$$
D = {(x,y)\mid x>1} \cup {(x,y)\mid x<-1}$$

Passo 3

No esboço, desenhe primeiro as retas verticais x=1 e x=-1. Em seguida, sombreie as regiões à direita de x=1 e à esquerda de x=-1, excluindo as próprias retas.

Passo 4

Para verificar que D é aberto, considere um ponto qualquer (x0,y0)in D. Como |x0|>1, defina o raio
r = |x0| - 1 > 0
Para todo (x,y) com distância euclidiana menor que r de (x0,y0), vale
|x| >= |x0| - |x - x0| > |x0| - r = 1,
o que garante (x,y)in D. Logo, existe um disco centrado em (x0,y0) contido em D, mostrando que D é aberto.

Passo 5

Para verificar que D não é fechado, observe a fronteira do conjunto:
partial D = (x,y)mid |x|=1
Como esses pontos não pertencem a D (a condição é |x|>1), concluímos que D não contém todos os seus pontos-limite, logo não é fechado.

Resposta

D é aberto e não é fechado.

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