Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
.
Passo 1
O conjunto dado é
O conteúdo da matéria é topologia de conjuntos em
, e vamos usar as definições de conjunto aberto e conjunto fechado.
Passo 2
A condição
significa que estamos coletando todos os pontos com abscissa maior que 1 ou menor que -1. Em outras palavras, podemos separar em duas regiões:
$$
D = {(x,y)\mid x>1} \cup {(x,y)\mid x<-1}$$
Passo 3
No esboço, desenhe primeiro as retas verticais
e
. Em seguida, sombreie as regiões à direita de
e à esquerda de
, excluindo as próprias retas.
Passo 4
Para verificar que
é aberto, considere um ponto qualquer
. Como
, defina o raio
Para todo
com distância euclidiana menor que
de
, vale
o que garante
. Logo, existe um disco centrado em
contido em
, mostrando que
é aberto.
Passo 5
Para verificar que
não é fechado, observe a fronteira do conjunto:
Como esses pontos não pertencem a
(a condição é
), concluímos que
não contém todos os seus pontos-limite, logo não é fechado.
Resposta
D é aberto e não é fechado.