Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico. (Lembre que a curva de nível de f correspondendo ao nível z=c possui equação f(x, y)=c, c constante).
Dica: primeiro encontre a imagem de f.
f(x, y)=raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é desenhar as curvas de nível da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e esboçar o gráfico dela. Esse exercício envolve entender o conceito de curvas de nível, que são as “fatias” da função onde $ f(x, y) $ é igual a uma constante $ c $. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar essas curvas e depois representar o gráfico geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a imagem da função $ f $. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores que $ f(x, y) $ pode assumir. No nosso caso, $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ representa a distância do ponto f até a origem. Como a distância não pode ser negativa, a imagem de $ f $ é todos os números reais não negativos, ou seja, $ [0, +\infty) $.

Passo 3

Agora, vamos determinar as curvas de nível. Para isso, fixamos um valor constante $ c $ e resolvemos a equação $ f(x, y) = c $. Substituindo na função temos:
c
Para eliminar a raiz quadrada, elevamos ambos os lados ao quadrado:
f(x, y) = c
Essa é a equação de um círculo com raio $ c $ e centro na origem. Portanto, cada curva de nível $ f(x, y) = c $ é um círculo de raio $ c $.

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas de nível são círculos concêntricos na origem, podemos esboçar essas curvas para diferentes valores de $ c $. Por exemplo:
  • Para $ c = 1 $: círculo de raio 1.
  • Para $ c = 2 $: círculo de raio 2.
  • E assim por diante.
Esses círculos se expandem à medida que $ c $ aumenta, representando diferentes “alturas” na função.

Passo 5

Por último, vamos esboçar o gráfico da função $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Esse gráfico é conhecido como um cone circular, onde o vértice está na origem e o cone se estende para cima indefinidamente. Cada camada horizontal do cone corresponde a uma das curvas de nível que desenhamos, ou seja, aos círculos de diferentes raios.

Resposta

As curvas de nível de $ f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ são círculos concêntricos com centro na origem e raio igual a $ c $. O gráfico da função é um cone circular com vértice na origem.

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