Determine uma equação do plano tangente à função dada no ponto:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer determinar a equação do plano tangente à função dada por $ y = x^{2} - z^{2} $ em um ponto específico. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente derivadas parciais. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais dessa função para encontrar a inclinação do plano tangente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o ponto onde vamos calcular o plano tangente. Vamos chamar esse ponto de $ (x_0, y_0, z_0) $. Esse ponto deve estar na superfície definida por $ y = x^{2} - z^{2} $, ou seja, $ y_0 = x_0^{2} - z_0^{2} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ y = x^{2} - z^{2} $ em relação a $ x $ e a $ z $. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção.
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Derivada parcial em relação a $ x $:
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Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 4
Avalie essas derivadas no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ para obter os coeficientes que vão compor o plano tangente.
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no ponto: $ 2x_0 $ -
no ponto: $ -2z_0 $
Passo 5
A equação do plano tangente pode ser escrita usando a forma geral:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Distribuindo os termos:
Reorganizando os termos:
Lembrando que $ y_0 = x_0^{2} - z_0^{2} $, substituímos:
Resposta
A equação do plano tangente à função $ y = x^{2} - z^{2} $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é: