Determine uma equação do plano tangente à função dada no ponto:
y=x^2-z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer determinar a equação do plano tangente à função dada por $ y = x^{2} - z^{2} $ em um ponto específico. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente derivadas parciais. Vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais dessa função para encontrar a inclinação do plano tangente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o ponto onde vamos calcular o plano tangente. Vamos chamar esse ponto de $ (x_0, y_0, z_0) $. Esse ponto deve estar na superfície definida por $ y = x^{2} - z^{2} $, ou seja, $ y_0 = x_0^{2} - z_0^{2} $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ y = x^{2} - z^{2} $ em relação a $ x $ e a $ z $. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície em cada direção.
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    y = x^2 - z^2
  • Derivada parcial em relação a $ z $:
    x

Passo 4

Avalie essas derivadas no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ para obter os coeficientes que vão compor o plano tangente.
  • (x0, y0, z0) no ponto: $ 2x_0 $
  • partial ypartial x no ponto: $ -2z_0 $

Passo 5

A equação do plano tangente pode ser escrita usando a forma geral:
y - y0 = partial ypartial x(x0, z0)(x - x0) + partial ypartial z(x0, z0)(z - z0)
Substituindo as derivadas que calculamos:
y - y0 = 2x0 (x - x0) - 2z0 (z - z0)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Distribuindo os termos:
y - y0 = 2x0 x - 2x0^2 - 2z0 z + 2z0^2
Reorganizando os termos:
y = 2x0 x - 2z0 z + (-2x0^2 + 2z0^2 + y0)
Lembrando que $ y_0 = x_0^{2} - z_0^{2} $, substituímos:
y0 = x0^2 - z0^2
y = 2x0 x - 2z0 z + (-2x0^2 + 2z0^2 + x0^2 - z0^2)

Resposta

A equação do plano tangente à função $ y = x^{2} - z^{2} $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ é:
y = x^2 - z^2

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