A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu crescimento pode ser expressa pela função h(t)=0,5 +log 3(t+1), onde o tempo t >= 0 é dado em anos:
Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t)=h(3 t+2). Determine g(t)-h(t).

Passo 1

O enunciado dá a altura de um arbusto por h(t)=0,5+log3(t+1) e pede para outro arbusto com altura composta g(t)=h(3t+2) calcular g(t)-h(t). Vamos usar teoria de função composta e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Substituímos t por 3t+2 em h(t), obtendo:
g(t)=0,5+log3((3t+2)+1)

Passo 3

Simplificamos o argumento do logaritmo, pois (3t+2)+1=3t+3:
g(t)=0,5+log3(3t+3)

Passo 4

Aplicamos a propriedade de log de produto:
log3(3t+3)=log3(3cdot(t+1))=log3(3)+log3(t+1)=1+log3(t+1)
Logo,
g(t)=0,5+1+log3(t+1)=1,5+log3(t+1)

Passo 5

Agora basta subtrair h(t)=0,5+log3(t+1) de g(t)=1,5+log3(t+1):
g(t)-h(t)=(1,5+log3(t+1))-(0,5+log3(t+1))=1

Resposta

1

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