Verifique se é diferenciável a função f(x, y)=3-x^2-2 x y^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=3 - x^2 - 2xy^2 é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos usar o critério baseado nas derivadas parciais e na continuidade delas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f. Usando a regra de derivação de polinômios, temos:
partial fpartial x(x,y)= -2x - 2y^2
partial fpartial y(x,y)= -4xy

Passo 3

Em seguida, observamos que as derivadas parciais obtidas são funções polinomiais em x e y. Como toda função polinomial é contínua em R^2, as componentes do gradiente nabla f(x,y) são contínuas em qualquer ponto de R^2.

Passo 4

Pelo teorema que garante que se as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de um ponto então a função é diferenciável nesse ponto, concluímos que f é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=3 - x^2 - 2xy^2 é diferenciável em todo R^2.

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