Verifique se é diferenciável a função
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos usar o critério baseado nas derivadas parciais e na continuidade delas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
. Usando a regra de derivação de polinômios, temos:
Passo 3
Em seguida, observamos que as derivadas parciais obtidas são funções polinomiais em
e
. Como toda função polinomial é contínua em
, as componentes do gradiente
são contínuas em qualquer ponto de
.
Passo 4
Pelo teorema que garante que se as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de um ponto então a função é diferenciável nesse ponto, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.