Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P se:
z=x^{2} y+y^{3}, P=(-1,2, f(-1,2)).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y+y^{3}
e pede o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto
P=(a,b,f(a,b))\quad\text{com }(a,b)=(-1,2).
O conteúdo que vamos usar é: para uma função de duas variáveis, o plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)) tem equação
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor de f em (a,b)=(-1,2):
f(-1,2)=(-1)^{2}\cdot2 + 2^{3}=1\cdot2 + 8 = 10.
Logo o ponto de tangência é P=(-1,2,10).

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y+y^{3}\bigr)=2xy,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+y^{3}\bigr)=x^{2}+3y^{2}.
Em (x,y)=(-1,2) temos
f_x(-1,2)=2\cdot(-1)\cdot2 = -4,
f_y(-1,2)=(-1)^{2} + 3\cdot2^{2} = 1 + 12 = 13.

Passo 4

Aplicando a fórmula do plano tangente:
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b),
substituindo a=-1, b=2, f(a,b)=10, f_x(a,b)=-4, f_y(a,b)=13, obtemos
z = 10 + (-4)\,(x+1) + 13\,(y-2).
Desenvolvendo e agrupando termos:
z = 10 -4x -4 +13y -26 = -4x +13y -20.

Resposta

A equação do plano tangente é
z = -4x + 13y - 20.

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