Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f no ponto P se:
z=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, P=(3,-4, f(3,-4)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico da função
f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
no ponto P=(3,-4,f(3,-4)). Vamos usar derivadas parciais para obter a inclinação em x e em y e aplicar a fórmula do plano tangente via linearização.

Passo 2

Primeiro, calculamos a coordenada z de P:
f(3,-4)=\frac{3}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} =\frac{3}{\sqrt{9+16}} =\frac{3}{5}.

Passo 3

Agora obtemos as derivadas parciais de f. Escrevendo
f(x,y)=x\,(x^2+y^2)^{-1/2},
temos por regra do produto e cadeia:
f_x(x,y) =(x^2+y^2)^{-1/2} \;-\;\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} =\frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}},
f_y(x,y) =x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot 2y =-\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}.

Passo 4

Avaliaremos f_x e f_y em (3,-4). Como x^2+y^2=25:
f_x(3,-4)=\frac{(-4)^{2}}{25^{3/2}} =\frac{16}{125}, \quad f_y(3,-4)=-\frac{3\cdot(-4)}{125} =\frac{12}{125}.

Passo 5

A fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,z_0)=(3,-4,\tfrac35) é
z =z_{0} +f_x(3,-4)\,(x-3) +f_y(3,-4)\,(y+4).
Substituindo:
z =\frac{3}{5} +\frac{16}{125}(x-3) +\frac{12}{125}(y+4).

Resposta

\boxed{\,z =\frac{3}{5} +\frac{16}{125}(x-3) +\frac{12}{125}(y+4)\,.}

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