Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) no ponto P se: z=x^2+y, P=(1,1, f(1,1))

Passo 1

A questão pede a equação do plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis, conteúdo que envolve derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
A fórmula geral é
z - z0 = fx(x0,y0), (x - x0) + fy(x0,y0), (y - y0)
Vamos precisar calcular o ponto no gráfico e as derivadas parciais de f.

Passo 2

Primeiro obtemos a coordenada z0 do ponto P. Como f(x,y)=x^2+y, temos
f(1,1)=1^2+1=2
Logo, P=(1,1,2).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=2x,
fy(x,y)=1
No ponto (1,1) isso dá fx(1,1)=2 e fy(1,1)=1.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do plano tangente usando (x0,y0,z0)=(1,1,2) e as derivadas encontradas:
z - 2 = 2, (x - 1) + 1, (y - 1)

Passo 5

Por fim, simplificamos a equação:
z - 2 = 2x - 2 + y - 1
z = 2x + y -1

Resposta

z = 2x + y - 1

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