Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados: f(x, y, z)=x^2-y^2-z^2+x y z,(1,1,0).

Passo 1

Estamos lidando com a função f(x,y,z)=x{2}-y{2}-z^{2}+x y z e queremos a linearização em torno do ponto a=(1,1,0). Para isso vamos usar a aproximação linear:
L(x,y,z)=f(a)+∇f(a)·((x,y,z)−a), precisando então de f(a) e do gradiente ∇f no ponto.

Passo 2

Vamos calcular f no ponto a=(1,1,0):
f(1,1,0)=1^2-1^2-0^2+1·1·0=1-1+0=0

Passo 3

Agora determinamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y,z)&=2x+yz, fy(x,y,z)&=-2y+xz, fz(x,y,z)&=-2z+xy

Passo 4

Avaliaremos essas derivadas em (1,1,0):
fx(1,1,0)=2·1+1·0=2,
fy(1,1,0)=-2·1+1·0=-2,
fz(1,1,0)=-2·0+1·1=1

Passo 5

Agora montamos a linearização:
L(x,y,z)=f(1,1,0)+fx(1,1,0)(x-1)+fy(1,1,0)(y-1)+fz(1,1,0)(z-0)
Substituindo os valores:
L(x,y,z)=0+2(x-1)-2(y-1)+1·z=2(x-1)-2(y-1)+z

Resposta

L(x,y,z)=2(x-1)-2(y-1)+z

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