Encontre os limites nos exercícios 13-20 reescrevendo primeiro as frações.
lim (x, y) (1,1) cos raiz[3]|x y|-1

Passo 1

O enunciado pede o limite de cos raiz[3]|xy|-1 quando (x,y)to(1,1). O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis usando propriedades de valor absoluto e continuidade de funções compostas. Vamos precisar lembrar que produto de vizinhos de 1 é positivo e que raiz[3]cdot e cos(cdot) são funções contínuas.

Passo 2

Para pontos (x,y) próximos de (1,1), temos xy>0, logo |xy|=xy. Assim podemos reescrever o interior como |xy|-1=xy-1.

Passo 3

Definimos a função auxiliar g(x,y)=xy-1. Vemos que g(x,y)to0 quando (x,y)to(1,1). A seguir aplicamos a função h(u)=raiz[3]u, que é contínua em u=0, logo h(g(x,y))=raiz[3]xy-1to0. Depois compomos com f(v)=cos v, também contínua em v=0. Pela continuidade de composições,
o limite final é cos(0)=1.

Resposta

1

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