Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) no ponto P se: z=x^2-y^2, P=(0,0,0)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico da função de duas variáveis definida por z=f(x,y)=x^2-y^2 no ponto P=(0,0,0). O conteúdo é derivadas parciais e plano tangente de superfícies, e vamos precisar calcular fx e fy no ponto dado.

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais, lembramos que se f(x,y)=x^2-y^2, então fazemos a diferenciação em relação a x e a y:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2-y^2)=2x,
fy(x,y)=partialpartial y(x^2-y^2)=-2y

Passo 3

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto (x0,y0)=(0,0):
fx(0,0)=2cdot0=0,
fy(0,0)=-2cdot0=0

Passo 4

Usamos a fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0):
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=0, y0=0, z0=0 e fx(0,0)=fy(0,0)=0, obtemos:
z - 0 = 0,(x-0) + 0,(y-0)
o que simplifica para z=0.

Resposta

z = 0

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