integral1^2 x-3x^3+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função racional x-3x^3+x^2 dx. Esse problema envolve integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador: x^3+x^2 = x^2(x+1). Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais como x-3x^2(x+1) = Ax + Bx^2 + Cx+1. Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados por x^2(x+1) e igualamos coeficientes.
Ao multiplicar por x^2(x+1) obtemos x-3 = A x(x+1) + B(x+1) + C x^2. Expansão gera x-3 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B. Igualando coeficientes nos polinômios, temos: A + C = 0, A + B = 1, B = -3. Daí B = -3, A = 4 e C = -4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos integral (4x - 3x^2 - 4x+1) dx. Calculando cada termo: integral 4x dx = 4ln|x|, integral -3x^2 dx = 3/x e integral -4x+1 dx = -4ln|x+1|. Assim, o antiderivado é 4ln|x| + 3x - 4ln|x+1|.

Passo 4

Agora avaliamos esse resultado de 1 a 2: em x = 2 dá 4ln2 + 3/2 - 4ln3 e em x = 1 dá 4ln1 + 3 - 4ln2. Subtraindo, encontramos 8ln2 - 4ln3 - tfrac32, que simplifica para 4lntfrac43 - tfrac32.

Resposta

4ln43 - 32

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