integral0^4 (x-2) d x2 x^2+7 x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^4 x-22x^2+7x+3,dx. O conteúdo envolve integração de funções racionais usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador 2x^2+7x+3 e decompor o integrando em termos mais simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
2x^2+7x+3 = (2x+1)(x+3)

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais:
x-2(2x+1)(x+3) = A2x+1 + Bx+3
Multiplicando por (2x+1)(x+3)
x-2 = A(x+3) + B(2x+1)
Igualando coeficientes:
A + 2B = 1,
3A + B = -2
Daí obtemos B=1 e A=-1.

Passo 4

Substituindo A=-1 e B=1, a integral vira
integral0^4 l(-12x+1 + 1x+3r),dx
Integrando cada termo com integral dxax+b = 1aln|ax+b|:
F(x) = -tfrac12ln|2x+1| + ln|x+3|

Passo 5

Agora avaliamos nos limites:
Para x=4:
F(4)=ln(7)-tfrac12ln(9)=lntfrac73,
Para x=0:
F(0)=ln(3)-tfrac12ln(1)=ln(3)
Portanto,
F(4)-F(0)=lntfrac73-ln(3)

Resposta

lntfrac79

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