Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n 3^nn!(x-4)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^n3^nn!(x-4)^n, que envolve o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Identificamos o termo geral an(x-4)^n com an = (-1)^n3^nn!. Aplicamos o teste da razão, calculando
L = limntoinfty |an+1(x-4)^n+1an(x-4)^n|

Passo 3

Substituindo an e simplificando obtemos
L = limntoinfty 3^n+1(n+1)!n!3^n,|x-4| = limntoinfty 3n+1,|x-4| = 0

Passo 4

Como L = 0 < 1 para todo x, a série converge para qualquer valor de x.

Resposta

(-\infty,,\infty)

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