Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) no ponto dado.
z=raiz4-x^2-2 y^2, P(1,-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de derivadas parciais e a equação do plano tangente. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = -xraiz4 - x^2 - 2 y^2 .
A derivada parcial em relação a fy = partial fpartial y = -2yraiz4 - x^2 - 2 y^2 é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto fx(1, -1) = -1raiz4 - (1)^2 - 2 (-1)^2 = -1raiz4 - 1 - 2 = -1raiz1 = -1 .
Substituindo fy(1, -1) = -2(-1)raiz4 - (1)^2 - 2 (-1)^2 = 2raiz1 = 2 e na expressão de :
Fazendo o mesmo para :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas no ponto, podemos usar a fórmula do plano tangente:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Aqui, z = 1 + (-1)(x - 1) + 2(y + 1) , e . Substituindo os valores:

Resposta

Simplificando a equação, temos:
z = -x + 1 + 2y + 2 z = -x + 2y + 3
Portanto, a equação do plano tangente é:
z = -x + 2y + 3

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