Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
(b)
16
Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
©
(b)
16
Expresse pelo termo geral cada sequência dada abaixo. Depois classifique as sequências quanto à limitação e monotonia.
©
Passo 1
A questão pede para expressar cada sequência pelo seu termo geral e depois classificar cada uma em termos de limitação (se existe um limite superior e inferior) e monotonia (se é crescente, decrescente ou nenhuma das anteriores). Vamos usar definição de sequência geométrica, definição de limitação e definição de monotonicidade.
Passo 2
Para a sequência (b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, … notamos que cada termo surge multiplicando o anterior por 1/2. Isso indica uma sequência geométrica de razão 1/2 e primeiro termo a₁ = 1/2. Logo, o termo geral é
.
Uma vez que , temos
para todo n, portanto é estritamente decrescente. Além disso, os valores são sempre positivos e ficam entre 0 (não alcançado) e 1/2 (alcance máximo em n=1), logo a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1/2.
Uma vez que
Passo 3
Na sequência © 1, 0, 1, 0, 1, … vemos que os termos alternam entre 1 (quando n é ímpar) e 0 (quando n é par). Uma expressão que reproduz esse padrão é
, pois se n é ímpar então
e aₙ=1, e se n é par então
e aₙ=0.
Como os valores de © ficam sempre em {0,1}, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Porém ela não é monotônica: de 1 para 0 temos queda e de 0 para 1 temos aumento, logo não satisfaz nem crescimento nem decrescimento em todos os passos.
Como os valores de © ficam sempre em {0,1}, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1. Porém ela não é monotônica: de 1 para 0 temos queda e de 0 para 1 temos aumento, logo não satisfaz nem crescimento nem decrescimento em todos os passos.
Resposta
Para (b) temos
, sequência limitada (0 < a_n ≤ 1/2) e estritamente decrescente.
Para © temos , sequência limitada (0 ≤ a_n ≤ 1) e não monotônica.
Para © temos