Ache os valores de
para os quais a equação
admite apenas soluções limitadas.
Observação :
é limitada, se existe
tal que
, para todo
.
Observação :
Passo 1
O enunciado pede os valores de
para os quais a equação diferencial de coeficientes constantes
admite apenas soluções limitadas em
Passo 2
Escrevemos a equação característica correspondente substituindo
:
Passo 3
Para que toda solução
seja limitada em
Passo 4
Como a soma das raízes é
para termos soma nula (condição para raízes
ou seja
Passo 5
Verificamos em cada caso que o termo independente fica
$$r_1r_2=\tfrac14\bigl[\alpha(\alpha-1)^2+1\bigr]=\tfrac14>0,
$$
resultando em raízes . Assim a solução é
, sempre limitada.
resultando em raízes
Passo 6
Portanto, os únicos valores de
que garantem soluções limitadas para todo
são