Ache os valores de alpha para os quais a equação
y^prime prime-alpha(alpha-1) y^prime+14[alpha(alpha-1)^2+1] y=0
admite apenas soluções limitadas.
Observação : y(x) é limitada, se existe M>0 tal que |y(x)|, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado pede os valores de alpha para os quais a equação diferencial de coeficientes constantes
y''-alpha(alpha-1)y'+tfrac14l[alpha(alpha-1)^2+1r]y=0
admite apenas soluções limitadas em R. O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e a característica associada.

Passo 2

Escrevemos a equação característica correspondente substituindo y=e^rx:
r^2-alpha(alpha-1)r+tfrac14l[alpha(alpha-1)^2+1r]=0

Passo 3

Para que toda solução
y(x)=C1e^r1x+C2e^r2x
seja limitada em R, é necessário que r1 e r2 sejam puramente imaginários (ou zero), pois qualquer parte real não nula gera crescimento exponencial para xtopminfty.

Passo 4

Como a soma das raízes é
r1+r2=alpha(alpha-1),
para termos soma nula (condição para raízes pm iomega) precisamos de
alpha(alpha-1)=0
ou seja
alpha=0oualpha=1

Passo 5

Verificamos em cada caso que o termo independente fica
$$r_1r_2=\tfrac14\bigl[\alpha(\alpha-1)^2+1\bigr]=\tfrac14>0,
$$
resultando em raízes r1r2=tfrac14l[alpha(alpha-1)^2+1r]=tfrac14>0, . Assim a solução é
r=pm i/2, sempre limitada.

Passo 6

Portanto, os únicos valores de alpha que garantem soluções limitadas para todo xin R são

Passo 7

alpha=0 e alpha=1.

Resposta

alpha=0 ou alpha=1

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