Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Neste exercício precisamos encontrar as soluções gerais de quatro equações diferenciais de segunda ordem: (a) uma equação linear não homogênea de coeficientes constantes, (b) uma equação não linear que não depende explicitamente de
, e © e (d) duas equações lineares homogêneas de coeficientes constantes. Vamos usar métodos como o de equação característica, coeficientes indeterminados e redução de ordem.
Passo 2
Para a equação
: primeiro achamos a solução da parte homogênea resolvendo a equação característica
cujas raízes são
e
, logo
$$y_h = C_1 + C_2 e^{-x}.
$$
Passo 3
Para a equação não linear
notamos que não aparece
explicitamente. Fazemos
e
. A equação vira
$$p,\frac{dp}{dy} + y p^3 = 0.
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{p} = \frac{y^2}{2} + C_1
\quad\Longrightarrow\quad
p = \frac{2}{y^2 + 2C_1}.
\frac{1}{p} = \frac{y^2}{2} + C_1
\quad\Longrightarrow\quad
p = \frac{2}{y^2 + 2C_1}.
$$
Essa é a solução geral implícita.
Essa é a solução geral implícita.
Passo 4
A equação homogênea
leva à equação característica
cuja raízes são
$$y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{4x}.
$$
Passo 5
Para
a característica é
com raízes complexas
$$y = e^{x}\bigl(C_1 \cos(\sqrt{3},x) + C_2 \sin(\sqrt{3},x)\bigr).
$$
Resposta
a)
.
b) Solução implícita: .
c) .
d) .
b) Solução implícita:
c)
d)