Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
a) (1,0 pt) y^prime prime+y^prime=e^-x.
b) (1,0 pt) y^prime prime+y(y^prime)^3=0.
c) (1,0 pt) y^prime prime-9 y^prime+20 y=0.
d) (1,0 pt) y^prime prime-2 y^prime+4 y=0.

Passo 1

Neste exercício precisamos encontrar as soluções gerais de quatro equações diferenciais de segunda ordem: (a) uma equação linear não homogênea de coeficientes constantes, (b) uma equação não linear que não depende explicitamente de x, e © e (d) duas equações lineares homogêneas de coeficientes constantes. Vamos usar métodos como o de equação característica, coeficientes indeterminados e redução de ordem.

Passo 2

Para a equação y''+y'=e^-x: primeiro achamos a solução da parte homogênea resolvendo a equação característica r^2 + r = 0 cujas raízes são r=0 e r=-1, logo
$$y_h = C_1 + C_2 e^{-x}.
yh = C1 + C2 e^-x çãááêy_p’ = A e^{-x} - A x e^{-x},\quad y_p’’ = -2A e^{-x} + A x e^{-x}.
yp = A x e^-xãy_p = -x e^{-x},
xçãéy = C_1 + C_2 e^{-x} - x e^{-x}.
$$

Passo 3

Para a equação não linear y'' + y(y')^3 = 0 notamos que não aparece x explicitamente. Fazemos p = y' e y'' = dpdx = dpdydydx = p,dpdy. A equação vira
$$p,\frac{dp}{dy} + y p^3 = 0.
p,dpdy + y p^3 = 0 á\frac{dp}{p^2} = -y,dy.
p^2-\frac{1}{p} = -\frac{y^2}{2} + C_1
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{1}{p} = \frac{y^2}{2} + C_1
\quad\Longrightarrow\quad
p = \frac{2}{y^2 + 2C_1}.
pneq0(y^2 + 2C_1),dy = 2,dx.
dpp^2 = -y,dy \frac{y^3}{3} + C_1 y = 2x + C_2.
$$
Essa é a solução geral implícita.

Passo 4

A equação homogênea y'' - 9y' + 20y=0 leva à equação característica
r^2 - 9r + 20 = 0,
cuja raízes são r=5 e r=4. Logo a solução geral é
$$y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{4x}.
$$

Passo 5

Para y'' - 2y' + 4y = 0 a característica é
r^2 - 2r + 4 = 0,
com raízes complexas r = 1 pm iraiz3. Então a solução geral, em termos de funções reais, é
$$y = e^{x}\bigl(C_1 \cos(\sqrt{3},x) + C_2 \sin(\sqrt{3},x)\bigr).
$$

Resposta

a) y = C1 + C2 e^-x - x e^-x.
b) Solução implícita: tfracy^33 + C1 y = 2x + C2.
c) y = C1 e^5x + C2 e^4x.
d) y = e^xl(C1 cos(raiz3,x) + C2 sin(raiz3,x)r).

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