Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
y=2 x(x+1)^2,(1, 12).

Passo 1

O enunciado dá a curva y = 2x(x+1)^2 e pede a reta tangente em l(1,tfrac12r). Para isso, vamos calcular a derivada y' para obter o coeficiente angular e depois usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Aplicar a regra do quociente em
y = uv, u = 2x, v = (x+1)^2
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y' = u'v - uv'v^2 = 2,(x+1)^2 - 2xcdot 2(x+1)(x+1)^4

Passo 3

Simplificar o numerador:
(x+1)^2 - 2x(x+1) = (x+1)l[(x+1) - 2xr] = (x+1)(1 - x),
portanto
y' = 2,(x+1)(1-x)(x+1)^4 = 2(1-x)(x+1)^3

Passo 4

Avaliar em x = 1:
m = y'(1) = 2(1-1)(1+1)^3 = 0

Passo 5

Usar a forma ponto-inclinação com m=0 e l(1,tfrac12r):
y - tfrac12 = 0,(x - 1)
logo a reta é horizontal,
y = tfrac12

Resposta

y = tfrac12

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