Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r.
4. Encontre todos os possíveis valores de integralC (x+y) d x+(y-x) d yx^2+y^2 onde C é qualquer curva fechada que não passa pela origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC(x+y),dx+(y-x),dyx^2+y^2
onde C é qualquer curva fechada que não passa pela origem. O conteúdo será aplicação do Teorema de Green, reconhecimento de singularidade em (0,0) e o conceito de índice (ou número de voltas) de C em torno da origem.

Passo 2

Denote
P(x,y)=x+yx^2+y^2, Q(x,y)=y-xx^2+y^2
Para usar Green precisamos do campo definido e com derivadas contínuas na região interior de C. Calculemos
partial Qpartial x =-(x^2+y^2)-(y-x),2x(x^2+y^2)^2 =x^2-2xy-y^2(x^2+y^2)^2,
partial Ppartial y =(x^2+y^2)-2y,(x+y)(x^2+y^2)^2 =x^2-2xy-y^2(x^2+y^2)^2
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0
em toda parte onde (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Se C não envolve a origem, podemos aplicar Green diretamente sobre a região interna e obter
ointCP,dx+Q,dy =integral duplainterior(C)l(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr),dA =0

Passo 4

Se C envolve a origem n vezes (contando sinal pelo sentido), o campo não é definido em (0,0). Decomponha a região interna de C removendo um pequeno disco ao redor da origem. A borda desse disco é um círculo Cvarepsilon de raio varepsilon. Pela orientação padrão,
ointCP,dx+Q,dy =ointCvarepsilonP,dx+Q,dy
Parametrize Cvarepsilon por x=varepsiloncos t, y=varepsilonsin t, tin[0,2pi n]. Então
(x+y),dx+(y-x),dy =(varepsiloncos t+varepsilonsin t)(-varepsilonsin t,dt) +(varepsilonsin t-varepsiloncos t)(varepsiloncos t,dt) =-varepsilon^2,dt,
e x^2+y^2=varepsilon^2, de modo que o integrando é -dt. Assim
ointCvarepsilonP,dx+Q,dy =integral0^2pi n(-1),dt =-2pi n

Passo 5

Concluímos que, para uma curva C de índice n em torno da origem,
ointC(x+y),dx+(y-x),dyx^2+y^2 =-2pi,n
Como n é qualquer inteiro (positivo, negativo ou zero), os valores possíveis da integral são
-2pi n mid ninZ,
isto é, todos os múltiplos inteiros de 2pi.

Resposta

Todos os possíveis valores são
-2pi n,
com ninZ.

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