Use o Teorema de Green para calcular
.
4. Encontre todos os possíveis valores de
onde
é qualquer curva fechada que não passa pela origem.
4. Encontre todos os possíveis valores de
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é qualquer curva fechada que não passa pela origem. O conteúdo será aplicação do Teorema de Green, reconhecimento de singularidade em
e o conceito de índice (ou número de voltas) de
em torno da origem.
Passo 2
Denote
Para usar Green precisamos do campo definido e com derivadas contínuas na região interior de
. Calculemos
Logo
em toda parte onde
.
Passo 3
Se
não envolve a origem, podemos aplicar Green diretamente sobre a região interna e obter
Passo 4
Se
envolve a origem
vezes (contando sinal pelo sentido), o campo não é definido em
. Decomponha a região interna de
removendo um pequeno disco ao redor da origem. A borda desse disco é um círculo
de raio
. Pela orientação padrão,
Parametrize
por
,
,
. Então
e
, de modo que o integrando é
. Assim
Passo 5
Concluímos que, para uma curva
de índice
em torno da origem,
Como
é qualquer inteiro (positivo, negativo ou zero), os valores possíveis da integral são
isto é, todos os múltiplos inteiros de
.
Resposta
Todos os possíveis valores são
com
.