Determine uma equação para o plano tangente onde f(x, y)=e^x+y.

Passo 1

Estamos lidando com a superfície definida por f(x,y)=e^{x+y}, e queremos o plano tangente em um ponto genérico (a,b) do domínio. Vamos precisar das derivadas parciais de f para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Definimos o ponto de tangência como (a,b,f(a,b)), onde f(a,b)=e^{a+b}. A fórmula geral do plano tangente em (a,b,f(a,b)) é
z = f(a,b) + fx(a,b),(x - a) + fy(a,b),(y - b)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x+y}. Como derivada de uma exponencial mantém o mesmo valor, temos
fx(x,y)=partialpartial xe^x+y=e^x+y, fy(x,y)=partialpartial ye^x+y=e^x+y

Passo 4

Avaliando em (a,b), obtemos
f(a,b)=e^a+b, fx(a,b)=e^a+b, fy(a,b)=e^a+b

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente, vem
z = e^a+b + e^a+b(x - a) + e^a+b(y - b)
Podemos deixar assim ou fatorar e^{a+b}.

Resposta

z = e^{a+b} + e^{a+b}(x - a) + e^{a+b}(y - b)

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