Determine uma equação para o plano tangente onde
.
Passo 1
Estamos lidando com a superfície definida por f(x,y)=e^{x+y}, e queremos o plano tangente em um ponto genérico (a,b) do domínio. Vamos precisar das derivadas parciais de f para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Definimos o ponto de tangência como (a,b,f(a,b)), onde f(a,b)=e^{a+b}. A fórmula geral do plano tangente em (a,b,f(a,b)) é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x+y}. Como derivada de uma exponencial mantém o mesmo valor, temos
Passo 4
Avaliando em (a,b), obtemos
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente, vem
Podemos deixar assim ou fatorar e^{a+b}.
Resposta
z = e^{a+b} + e^{a+b}(x - a) + e^{a+b}(y - b)