Classifique e esboce o gráfico da superfície quádrica dada pela equação 4 x^2+9 y^2-z^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar e esboçar o gráfico da superfície quadrática dada pela equação . Isso envolve entender um pouquinho de geometria analítica, especificamente sobre superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para compará-la com as formas padrão das superfícies quadráticas e, assim, identificar qual tipo de superfície estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para facilitar a comparação com as formas padrão. A equação dada é:
4x^2 + 9y^2 - z^2 = 36
Vamos dividir todos os termos por 36 para ter o lado direito igual a 1:
4x^236 + 9y^236 - z^236 = 1
Simplificando as frações:
x^29 + y^24 - z^236 = 1

Passo 3

Agora, vamos comparar essa equação com as formas padrão das superfícies quadráticas. A forma geral que se assemelha é a do hiperboloide de uma folha, que é dada por:
x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
x^29 + y^24 - z^236 = 1
Vemos que:

Passo 4

Com base nessa comparação, podemos classificar a superfície. A equação corresponde a um hiperboloide de uma folha porque temos dois termos positivos e um negativo igualando a 1. Esse tipo de superfície se parece com uma sela ou uma estrutura em forma de refrigerador invertido, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo .

Resposta

A superfície quadrática é um hiperboloide de uma folha. O gráfico dessa superfície se assemelha a uma sela, expandindo-se infinitamente nas direções positivas e negativas do eixo .

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