Determine qual é a superfície quádrica representada pela equação em cada caso, justificando suas respostas.
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar que tipo de superfície quádricas é dada por
. O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas a partir de sua forma canônica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão isolando
:
Passo 3
Agora, analisamos seções transversais: para cada plano
, a interseção é dada por
. Se
, isso é um círculo de raio
; se
, é um ponto; se
, não há interseção real.
Esse comportamento (seções circulares para planos perpendiculares ao eixo de variação de e função quadrática em
e
) caracteriza um paraboloide elíptico.
Esse comportamento (seções circulares para planos perpendiculares ao eixo de variação de
Passo 4
Concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico com vértice na origem e cujo eixo de simetria é o eixo
, abrindo-se para valores positivos de
.
Resposta
Paraboloide elíptico de vértice na origem, com eixo no eixo
e abertura para
.