Exercício 7. Utilizando convolução, encontre as inversas.
e^-a ss(s-2)

Passo 1

O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=e^-ass(s-2) usando a convolução e o teorema do deslocamento de tempo. Vamos trabalhar com transformadas de Laplace, a propriedade de convolução e a propriedade de deslocamento.

Passo 2

Usando o teorema do deslocamento, sabemos que

onde . Aqui identificamos L^-1e^-asG(s)(t)=u(t-a),g(t-a),.

Passo 3

Para achar usamos o teorema da convolução:
g(t)=L^-11/[s(s-2)](t)
portanto
$$g(t)=(f_1*f_2)(t)=\int_0^t f_1(\tau)f_2(t-\tau),d\tau
=\int_0^t 1\cdot e^{2(t-\tau)},d\tau.
1s(s-2)=1scdot1s-2,g(t)=e{2t}\int_0t e^{-2\tau}d\tau
=e{2t}\left[\frac{-1}{2}e{-2\tau}\right]_0^t
=\frac{e^{2t}-1}{2}.
$$

Passo 4

Aplicando o teorema do deslocamento, a solução final é
f(t)=u(t-a),g(t-a)=u(t-a)e^2(t-a)-12

Resposta

f(t)=12l(e^2(t-a)-1r),u(t-a)

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