Exercício 7. Utilizando convolução, encontre as inversas.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
usando a convolução e o teorema do deslocamento de tempo. Vamos trabalhar com transformadas de Laplace, a propriedade de convolução e a propriedade de deslocamento.
Passo 2
Usando o teorema do deslocamento, sabemos que
onde . Aqui identificamos
Passo 3
Para achar usamos o teorema da convolução:
portanto
$$g(t)=(f_1*f_2)(t)=\int_0^t f_1(\tau)f_2(t-\tau),d\tau
=\int_0^t 1\cdot e^{2(t-\tau)},d\tau.
=e{2t}\left[\frac{-1}{2}e{-2\tau}\right]_0^t
=\frac{e^{2t}-1}{2}.
=\frac{e^{2t}-1}{2}.
$$
Passo 4
Aplicando o teorema do deslocamento, a solução final é