Determine a equação do plano tangente ao paraboloide z=1+4 x^2+y^2 no ponto P=(12, raiz3, 5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide dado pela equação $ z = 1 + 4x^2 + y^2 $ no ponto $ P = \left(\frac{1}{2}, \sqrt{3}, 5\right) $. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, mais especificamente a derivada parcial, que ajuda a encontrar a inclinação da superfície nos eixos x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ z = 1 + 4x^2 + y^2 $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
z = 1 + 4x^2 + y^2
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P = \left(\frac{1}{2}, \sqrt{3}, 5\right) $.
Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ x = \frac{1}{2} $:
P = (12, raiz3, 5)
Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $ em $ y = \sqrt{3} $:
partial zpartial x

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula geral da equação do plano tangente:
z - z0 = partial zpartial xg|P(x - x0) + partial zpartial yg|P(y - y0)
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto dado $ P $.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
z - 5 = 4(x - 12) + 2raiz3(y - raiz3)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais bonita. Distribuindo os termos:
z - 5 = 4x - 2 + 2raiz3y - 6
Agora, somando os números:
z - 5 = 4x + 2raiz3y - 8
E finalmente, isolando $ z $:
z

Resposta

A equação do plano tangente é $ z = 4,x + 2,\sqrt{3},y - 3 $.

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