Determine a equação do plano tangente ao paraboloide
no ponto
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide dado pela equação $ z = 1 + 4x^2 + y^2 $ no ponto $ P = \left(\frac{1}{2}, \sqrt{3}, 5\right) $. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, mais especificamente a derivada parcial, que ajuda a encontrar a inclinação da superfície nos eixos x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função $ z = 1 + 4x^2 + y^2 $ em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ P = \left(\frac{1}{2}, \sqrt{3}, 5\right) $.
Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ x = \frac{1}{2} $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $ em $ y = \sqrt{3} $:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula geral da equação do plano tangente:
Onde $ (x_0, y_0, z_0) $ é o ponto dado $ P $.
Passo 5
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixar ela mais bonita. Distribuindo os termos:
Agora, somando os números:
E finalmente, isolando $ z $:
Resposta
A equação do plano tangente é $ z = 4,x + 2,\sqrt{3},y - 3 $.