Usando as propriedades da função Delta de Dirac, calcule as seguintes expressões:
© integral-infty^+infty cos (2-t)k t(sen(pi t)) de.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Usamos aqui a propriedade da função Delta de Dirac no argumento linear. Precisamos da definição
de
e da regra de que
integral-infty^+infty f(t),de.

Passo 2

Aplicando a propriedade ao nosso caso, com a=2 e b=5, temos
de.
Logo a integral vira
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(2 - t)}{k t},\sin(\pi t),\delta(2t - 5),dt
= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(2 - t)}{k t},\sin(\pi t),\delta\Bigl(t - \tfrac{5}{2}\Bigr),dt.$$

Passo 3

Agora usamos que a integral de f(t),de é f(5/2). Substituímos t = 5/2:
12 cdot cosl(2 - tfrac52r)k,(5/2) cdot sinl(picdot tfrac52r)

Passo 4

Calculamos passo a passo:
  1. 2 - tfrac52 = -tfrac12 e cos(-tfrac12) = cos(tfrac12).
  2. sinl(picdot tfrac52r) = sinl(2pi + tfracpi2r) = sin(tfracpi2) = 1.
  3. O fator tfrac12 de fora dividido por 5/2 tfrac12cdottfrac25 = tfrac15.
Juntando tudo obtemos tfraccos(1/2)5k.

Resposta

cosl(tfrac12r)5,k

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