Determine a equação do plano tangente no ponto dado:
f(x, y)=y^2-x^2, P=(-4,5);

Passo 1

Temos a função f(x,y)=y^2 - x^2 e o ponto P=(-4,5). O objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) em P. Para isso, usaremos derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f: partial fpartial x=-2x e partial fpartial y=2y. Essas derivadas indicam a inclinação da superfície nas direções x e y.

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais e a função no ponto P. Temos partial fpartial x(-4,5)=-2(-4)=8, partial fpartial y(-4,5)=2cdot5=10 e f(-4,5)=5^2-(-4)^2=9.

Passo 4

Aplicar a fórmula do plano tangente para funções de duas variáveis:
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=-4, y0=5 e os valores calculados, obtemos uma expressão que representa o plano tangente.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para escrever a equação do plano de forma mais compacta.

Resposta

z = 8x + 10y - 9

Exercícios relacionados