Seja f(x)=2x+1. Calcule f^prime(x) usando a definição de derivada.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2x+1 usando a definição pelo limite de diferença. Vamos usar o conceito de derivada como o limite quando hto0 de f(x+h)-f(x)h.

Passo 2

Começamos aplicando a definição de derivada: precisa calcular f(x+h) e montar o quociente de diferenças. Temos
f(x+h)=2x+1+h
então a diferença é
f(x+h)-f(x)=2x+1+h-2x+1

Passo 3

Para simplificar essa diferença de frações, colocamos em denominador comum:
f(x+h)-f(x)=2l((x+1)-(x+1+h)r)(x+1+h)(x+1)=2(-h)(x+1+h)(x+1)=-2h(x+1+h)(x+1)

Passo 4

Agora formamos o quociente de diferenças dividindo por h e simplificamos o fator h:
f(x+h)-f(x)h=-2h(x+1+h)(x+1)cdot1h=-2(x+1+h)(x+1)

Passo 5

Finalmente, fazemos hto0. No denominador, x+1+h vira x+1, de modo que a expressão passa a depender só de x e fica
-2(x+1)^2

Resposta

-2(x+1)^2

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