Determine uma equação do plano tangente no ponto especificado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação do plano tangente a uma superfície no ponto especificado. Estamos lidando com o conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente com a ideia de planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto dado na questão. A superfície é definida por $ z = x \sin(x + y) $ e o ponto dado é $ P = (-1, 1) $. Mas, como estamos trabalhando em três dimensões, precisamos encontrar o valor de $ z $ correspondente a $ P $.
Substituindo $ x = -1 $ e $ y = 1 $ na equação:
Então, o ponto completo é $ P = (-1, 1, 0) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos ajudarão a determinar as inclinações do plano tangente nas direções $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $:
Agora, a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (-1, 1, 0) $.
Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ P $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $ em $ P $:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente no ponto $ P = (-1, 1, 0) $ é: