Determine uma equação do plano tangente no ponto especificado.
z=3 y^2-3 x^2+x, P=(2,-1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação $ z = 3y^{2} - 3x^{2} + x $ no ponto $ P = (2, -1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar inclinações e, consequentemente, a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o ponto completo na superfície, ou seja, encontrar o valor de $ z $ correspondente a $ P = (2, -1) $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = -1 $ na equação da superfície:
z
Então, o ponto completo é $ (2, -1, -7) $.

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
z
E a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto $ (2, -1) $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
(2, -1)
Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial x

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula geral do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $:
z = f(x, y)
Substituindo os valores que já temos:
(x0, y0, z0)
Simplificando:
z - z0 = partial zpartial xg|(x0, y0) (x - x0) + partial zpartial yg|(x0, y0) (y - y0)

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a equação para a forma padrão:
z + 7 = -11x + 22 - 6y - 6
z + 7 = -11x - 6y + 16
Subtraindo 7 de ambos os lados:
z = -11x - 6y + 9

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto $ (2, -1, -7) $ é:
(2, -1, -7)

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