Determine uma equação do plano tangente no ponto especificado.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação do plano tangente à superfície dada pela equação $ z = 3y^{2} - 3x^{2} + x $ no ponto $ P = (2, -1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar inclinações e, consequentemente, a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o ponto completo na superfície, ou seja, encontrar o valor de $ z $ correspondente a $ P = (2, -1) $. Substituindo $ x = 2 $ e $ y = -1 $ na equação da superfície:
Então, o ponto completo é $ (2, -1, -7) $.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
Passo 4
Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto $ (2, -1) $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos usar a fórmula geral do plano tangente a uma superfície $ z = f(x, y) $ no ponto $ (x_0, y_0, z_0) $:
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a equação para a forma padrão:
Subtraindo 7 de ambos os lados:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto $ (2, -1, -7) $ é: